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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 rs~4\^  
z!/$;&+  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. mG.!,o8d  
:vG8k'K:U  
　　1、三角函数本质： tUX J  
uYn|T2 Kh  
　　三角函数的本质来源于定义 Z.r>{xVT  
U_D9O>_ >F  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 w(a>1B 1s  
Hx"E|%  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 CdCDH|* g  
.7B\]lVCZ  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： M3$OWa\h  
Czb%u9)  
　　推导： 'z6W/5}X  
R+w9gknK  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 vA#_=KV  
K_nQ$3!>V  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) LmF:`  
yxv_Wz&  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) @W?;F s@  
JT p9SA-  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 *tsYZP:~W  
'@![ V6S  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） "?p5\1n  
}829svBk  
　　[1] g~JmBv'u  
Y@Am+6  
　　两角和公式 +!uJ%=i7  
Ol_O d$z%  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB +)k xO  
iC 9N5[  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Is#SzNC  
8t.J>?nm  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ,.BydNL  
w/w[n  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ^D&(.N3 tb  
>#M?Q3y}3w  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) `G <&Z  
!+!B9  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) yf*6C jy$D  
Hd'U^Ay  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)   n.nM9  
<g1&x ,]  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) [l 9] ,l<  
CCOiSP;D  
倍角公式 %Z v^-Zg  
Pdp<mG  
　　Sin2A=2SinA•CosA 6T:<Ei[@  
4&F3#;hx&  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ytdpiv5$4  
I$tS*}k  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） a<cbc/  
McM4oI   
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） /$E5(Y/G)  
rEA^ymq0  
三倍角公式 zn;^~OGV`  
nL?md|:j  
　　 1\0V_m  
8OQr`~ "  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) R//DU sTE  
6,I_T"#~  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Z}g4)^3h,  
s ?Kuu({3}  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ~33\-K\I  
5"pAhDR=  
三倍角公式推导 ,*@n$"dZy;  
f??1Vrlq8  
　　sin3a Ii8Z>jDe  
Q5% 7>W  
　　=sin(2a+a) A9VR{7+1.  
u8od.4dJ*  
　　=sin2acosa+cos2asina 8NXDb%  
w0deh^o  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 4w H|~p B  
w_-h5{a_B  
　　=3sina-4sin³a y3,~,Quoi  
%}Mc7l  
　　cos3a 23_`I)  
<)H adG  
　　=cos(2a+a) \&z B 'zsx  
- ;4 i*#  
　　=cos2acosa-sin2asina R*c7_A'U  
afdo,S`l  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa u%8cC^kU  
Tur6L"DM  
　　=4cos³a-3cosa ROQ*No"  
v_}FMi]  
　　sin3a=3sina-4sin³a y 8Qu/B  
l<ao:[Z1  
　　=4sina(3/4-sin²a) J,4gE e  
KK'V5 -  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] :Un=V*g}  
BEcj;{L3  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) / zd6-$,  
jK/6U%Mq  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) u&&I i .  
>Sn;f9sU  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] JI&B+I  
FkM;?S~_mi  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) zLL=WA b  
+@ d}<SF  
　　cos3a=4cos³a-3cosa $yzz%r}`Y  
^'wCeZ =#  
　　=4cosa(cos²a-3/4) [(a;6`uRB  
gUU> M6  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ggqFQYD  
:OdQFN  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ~L ?Z-Xha  
 ayM}H*V<  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) @C;3Vb=  
_+y$H(]%  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} $Xmb(k  
xg [d*)  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) (^_>`sSz  
{zZ0pJ%KZ  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 1_ nL6L  
A )S,k@gb  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] XIzF 6A&  
 W1?bP`  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) `1MrtW)  
M#d#N v|[  
　　上述两式相比可得 6s&__  
7d<[h$I:  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) = ~ u%ZB  
GxyHM3M  
半角公式 g{k$riJ;  
5<&T ?`f.  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); jMKpQwM&  
e5~Vk8Nt  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. [LxFNbH L  
 .l{t7pW  
和差化积 L/3'S;=  
#g+uAQz|t  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ic|S=YX  
d`zeLKF3  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] QV$dWe  
b(mUJK262  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] +*gP3 lY  
l$roY[L  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] EJq[Mf  
b 8^rp  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) _xUJ`-]0  
#P>LfoCg2  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) \+aDzG9{9  
C],Kh  
积化和差 En)# $   
tmOuX*0  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] MM+{:8  
tfYfYK/"  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] A~GT[0*  
QoTblw|Dv  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] JT8(*nf  
mh5,E&  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Az$GlVA  
G$D6"&IY5J  
诱导公式 2#n, G#o  
w<d"c`'p  
　　sin(-α) = -sinα 1)GdD4+g  
2!0<S?O0LN  
　　cos(-α) = cosα F7pO f9  
E9ElaJ U  
　　sin(π/2-α) = cosα Y0_i'rjt  
u'(bt(&K e  
　　cos(π/2-α) = sinα MTpl`tnmR  
OHUrP,iW  
　　sin(π/2+α) = cosα -X|Q^w ?  
nLIwl0G  
　　cos(π/2+α) = -sinα ;O;.IC,v  
p1&?6uJO  
　　sin(π-α) = sinα Hf3IHa&R  
)`S+.=C ,  
　　cos(π-α) = -cosα r>Z[@},w  
M3 Y)6R!  
　　sin(π+α) = -sinα $z>X 9x  
f/ i@>MD*  
　　cos(π+α) = -cosα lQP1Y&  
KZ_Ger7Q  
　　tanA= sinA/cosA x K>0(Pwx<  
{A@6h3AQx  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα %<{!\ n  
SS>ivxm  
　　tan（π/2－α）＝cotα L6VuZd)G`  
{g(K`<70#  
　　tan（π－α）＝－tanα 'I# ,wx0  
Dn tg%  
　　tan（π＋α）＝tanα b* 8 rQ_7  
^JXh.i  
万能公式 .Xo y]2A  
.((DF>Y"h  
　　 f9-Dy+&mA  
Nm.Y'T%  
其它公式 LJ 2?  
JuQ~=  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ]1]5YS<e  
/O1whB+uv  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 +?tC[ p  
?:((-C  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ;1$'] I  
2A)I<\  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 L19qWBC  
"rzZrn6M1  
　　对于任意非直角三角形,总有 }XK~@%Br  
vl]J3}n9  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC \s1b#EaD  
{+@F}T J>x  
　　证: _FBy qMDr  
1w@)(XrD4u  
　　A+B=π-C R OR|!I"  
M^yW >w&_  
　　tan(A+B)=tan(π-C) C^E+RYio  
m3[qx&@o  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) (CAV<~xOu  
&{7PX-"}t  
　　整理可得 LXp[~l=;`  
pMl`+Pw^.  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ^3QgXL1  
k{D>0Z  
　　得证 -%^a{(V!  
I{ @U#%  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 +;M&_8ZwL  
p:osEo  
其他非重点三角函数 ;J\6.F  
-)6<0iY"*s  
　　csc(a) = 1/sin(a) G |WjJ8  
y%M,Gyb>  
　　sec(a) = 1/cos(a) -t*)'< .nP  
@^'4ur,2~  
　　 @P0^GXPo  
~'AKqb2Xl  
双曲函数 Z*0F.'_^MC  
i!^x#,  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 #s.ahXU  
/?3p5>f5  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 :X&\7+Mi  
)"O.[9@  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) >nd0RG-9  
e<;M0}"l  
　　公式一： l+8m^  
Uhm'  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： e7\_keo  
CDa'&[d @  
　　sin（2kπ＋α）= sinα &>U /  
A@5q&$  
　　cos（2kπ＋α）= cosα zaIz#AuZ2  
\GpS=sRCI  
　　tan（kπ＋α）= tanα WONe>i|  
PK?;/0@/  
　　cot（kπ＋α）= cotα nR}W D  
ax% 06g{  
　　公式二： HV}V x  
}rAp [hb  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： qX3ggMe-x  
o B2Mk`>Er  
　　sin（π＋α）= -sinα >?ve8M  
%=]0D]`!A  
　　cos（π＋α）= -cosα 26,F7j$G;  
l!EzSn X1  
　　tan（π＋α）= tanα O5IK(4cg  
cp_o W07  
　　cot（π＋α）= cotα )_).chzm  
T8Wp8'  
　　公式三： hnc'Lj  
:_?`] 6P  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： m~T* pm%  
4 `~~Z1p  
　　sin（-α）= -sinα Q5RfZ> _  
M3b/(}^  
　　cos（-α）= cosα ge2,S%c[  
-c@("%18  
　　tan（-α）= -tanα '1q@]4k  
-s p}gU]o  
　　cot（-α）= -cotα /: z.<HQ-o  
;uyJ|6*c  
　　公式四： A9g|\40/  
oL8R[QxA2R  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： D,K;`~8  
I9 &0{?Vl  
　　sin（π-α）= sinα Lb|/p;h  
W++=5 WT  
　　cos（π-α）= -cosα #xSE6cd  
$f}Rp,z&\M  
　　tan（π-α）= -tanα Hi1=mG@!`  
QZ X;#W+`  
　　cot（π-α）= -cotα *(?K-tvZ#P  
<]1Tuv>XA  
　　公式五： ~f`)hS;j  
Eyxhiv^  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： >:Q0cMe}]  
"x`DGa=[  
　　sin（2π-α）= -sinα ~W'I|FjJ  
`4FsJo_"  
　　cos（2π-α）= cosα U3LG3<R^%  
yW2$JgT  
　　tan（2π-α）= -tanα y'}.JGe  
Do:G8~S/  
　　cot（2π-α）= -cotα n:WG_lS  
e^U,8%Q  
　　公式六： %Hio@m&J  
by^69 @  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： TjxV**K  
[E6YVO  
　　sin（π/2+α）= cosα I/TA'*rsZ  
4 '>~TV  
　　cos（π/2+α）= -sinα mpfxJ~3N  
#Mz|-5  
　　tan（π/2+α）= -cotα JO8y-GKb1  
C?/7 QL8f  
　　cot（π/2+α）= -tanα H/S <NIy  
reI0m^dk-  
　　sin（π/2-α）= cosα ziw0;.A~  
3s.6Qj9  
　　cos（π/2-α）= sinα C/$k D{L2  
5% YMsj\0  
　　tan（π/2-α）= cotα B5|D]RJ>  
'X_\uw(W  
　　cot（π/2-α）= tanα ygT7Z9*7  
tnI~`   
　　sin（3π/2+α）= -cosα O(0{$"Ui  
byvGpMO  
　　cos（3π/2+α）= sinα U2<oDul j  
h`A=wN\X  
　　tan（3π/2+α）= -cotα .w # %<?<  
W6i:0wat  
　　cot（3π/2+α）= -tanα \I@gU47  
^ern!;c G  
　　sin（3π/2-α）= -cosα $ NjPA  
O+e 86{  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ,P X-)r U  
^q=>Gw.  
　　tan（3π/2-α）= cotα c^|M{x'[*  
S)n-HrH%~>  
　　cot（3π/2-α）= tanα M2/]ZD7  
.}PaZ.b:<  
　　(以上k∈Z) 2^f7<T*  
P^}/QRU  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Wk??W[`$n  
saK$`1  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = {Xc[7#`w  
>]p U;3  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } kuAPcxUH  
&b4=`#NK  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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