三角函数内容规律 J]2exU
&5Aj"
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. *az5:k18}
+`?VH
n.(
1、三角函数本质: `*T"GA
G7A@8G
三角函数的本质来源于定义 h>q
7
# eK^H9
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 l($hyV6g_4
uQp.EXrR
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 $5dZM#e-H
bsK~p Lf
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: `a5X4ewOV
L+g7th6Ca
推导: &\{Bj|v
AZ7SH`Kj6
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 z,iOcu;?')
# ur!u
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) @c*B
Hq
oF
Rc;E@W
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Rr/R.r[D
mVA}V
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 (Go9foK^?
gdao\7@)
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) iCiP,!NA
BoY*d2`
[1]
b>x};K
$h"]
Qa
两角和公式 8 (h*0sG
+%3~csTBr
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB WG+x
|II*U? Mo
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB Na{0(&?F]
NY$Qm9%N
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB @1m0C{pG
]fRI6l!:
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 9&xEZ%&^
@"Ab_F
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) xY5Ho*KD@
S5Z~` o3{C
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 6&Fb^0*.
/:kVJqIT
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) --W&9RRS
^Pu8g>l/
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) P`@,zK=
T*w+S:]
倍角公式 Djg%+ge
Du8bd9DVP
Sin2A=2SinA•CosA .=\2 {,H
5:Ap\9L
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 % OoUJ/|
Mhc09j
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) 8HqeZMLn
k't:O-?Yj
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) -tgl c
mD}<L4 ]9<
三倍角公式 f2UbPDQ*
,?OuykDG
lB@zZ0BU
():1Q(
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) w%l^;^l
VXKc]wqT)
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) #@PiX\uvcj
2IHe74c
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) q3wbZg1n
(dZ7xP,/
三倍角公式推导 in_FkH"
x^7'dO7
sin3a J@18KJ"}
eP
{%tX1
=sin(2a+a)
,8K, {p
\$<uoeU
=sin2acosa+cos2asina M3Xcj
G
lG7}!`~
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina {N+Czwo
uuCFBj
=3sina-4sin³a G;:t:[ES
jU!<t|m^W
cos3a 7l.KCYC
LnHYp
-`
=cos(2a+a) %05Z[9'T
zES"TJk@
=cos2acosa-sin2asina 4DpdPEZBlx
;\JAc9Y
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa gDESj>*t
N9bRu
E
=4cos³a-3cosa VlW/&
(cTU31>@
sin3a=3sina-4sin³a wb>EoCf
TKar:@; (
=4sina(3/4-sin²a) d7f-`
xx
F3M
p
T
=4sina[(√3/2)²-sin²a] SK_ubU
;oMtlT2<"B
=4sina(sin²60°-sin²a) m&{; t
~F
T&T
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) iS$q@s*"
[6vCAkW
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] @
W
~(rc,
7t-]&
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 1Kg(fiwN=
~i#fz,
5;
cos3a=4cos³a-3cosa l>`HZe|
c~.QC;p%
=4cosa(cos²a-3/4) qZJ$,Xj
bQ74XX
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] A;3f#kjx
'
{ 6z
=4cosa(cos²a-cos²30°) ,Rh.J7L
'T|yUz"
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) .vMD|lQ
Klv4:ft
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} >k;Z3]W@
ckThkI3xL
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) }V,3vecF
*yAMT<Sj
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] C{iFFn>
m!)XJ`bz\
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] )4s>U?
s5 ;N|?
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) KPxgHM
V5DSH
上述两式相比可得 a ].<Swa!M
@/--P(2}
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) z4/7+T
CO3K2x!rW
半角公式 Q rS"n@m#
[7VaZ
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Tu=op
t_bZ\d]De
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 0MVuREq
>a'VrXcu
和差化积 #(ATJ`\
m/P$Kv*g/
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] {Lfji t:
6aoq2>tJi
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] T
Sk,@m
3If*I=1
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] G2dv3bTnF2
]-RMK3
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] kvr"evm~m_
)!4%g{T
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 9eJ@M-/H^
TV7cs
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 3RkGF
aB
5%k59
积化和差 ik7Ol-qc[
0+/!~ye
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] r2W!.>+)
Ow|COG
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] qsd=['D
tbD&W<>H$
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] c$26FRjCF
k~j2v}E1h
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] zlBo:4}
{>fJ`91*>
诱导公式 ^kog/PZQ
$0#Ovs.
sin(-α) = -sinα a@6rt>
R=R2=b6}
cos(-α) = cosα /-Y'#3=oD
wKa\Mya
sin(π/2-α) = cosα J:b
_!u_l
o~Yk}eG
cos(π/2-α) = sinα cQA@q3s;v
xY-St]s
sin(π/2+α) = cosα FV'3c6+B/
_kv ~h
cos(π/2+α) = -sinα ;1\7wL/4
-o2XHpo
sin(π-α) = sinα i>gsJ;v~
|TC%
cH=
cos(π-α) = -cosα u& 2"Pu
uPN!Z'C
sin(π+α) = -sinα !+#4l@u!
>4 :Rt5
cos(π+α) = -cosα %+{?Z]
S:WsvC\6{
tanA= sinA/cosA X-*3|s7dwB
d:T ^+e
tan(π/2+α)=-cotα
nS4=yj(`
{vMXa`
tan(π/2-α)=cotα zbu>AuE6
lT;2;sa ]
tan(π-α)=-tanα ?jo1R,ng
*;6U& s
tan(π+α)=tanα mJWe1_)qb
\B;hW^(
万能公式 COf
&V$7Wf}"=
]Qhr=
Tg$4% Chm
其它公式 x&~Q?f
wq-X=;2I-
(sinα)^2+(cosα)^2=1 at?e:EZf$B
_6{87|3
1+(tanα)^2=(secα)^2 e"
j=^}
"HmtS-
IJ
1+(cotα)^2=(cscα)^2 k1*'lLuI5
4%o:5\c`{
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ~2E"zC\\W
?>(S h
对于任意非直角三角形,总有 ;5BEl*
i`G.]<W
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ||bCY^'BM
%oz|5fX-7
证: >hRa"c.M
Fs"dVnh2{?
A+B=π-C '9R!*uIb
msZUi-Jl
tan(A+B)=tan(π-C) N0^px\u
8>4;7<
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) DewVB@a
M#V~p_]
整理可得 _yy/,tF@
8*-gSK
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC aL1$e6N
Y;m U
得证 K
A1M>[
1XP?]&CK
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 #'>X'd%
B#QzfkEet
其他非重点三角函数 mSg. ]a!1~
xx Sc>ku9
csc(a) = 1/sin(a) }e.5\
Q
HlY9>CX
sec(a) = 1/cos(a) QLk/ROV/=
$mg=65my
KI{XZx[
CYl-$t+2
双曲函数 W M*O&mc@
ujfcZN(i^_
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 2XF6Ot.m
$X9*!dX
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 '2JXoIe
ucvi5o<fg
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Vt3yES&
PKJ8G#
t
公式一: \\'lqMsR
<-![EP
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: k%>"/T~
P<yI~nP
sin(2kπ+α)= sinα _/$~\Df3
k2xZ19Hw
cos(2kπ+α)= cosα ?DI>4v8p
cHE*[%F d
tan(kπ+α)= tanα L:08og?nj
X,y?w;G
cot(kπ+α)= cotα 8Yr6DqAr"<
Ny R_fiJ6N
公式二: U_hd\L^
"<{}j=^3
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: _Cf5FW`
yJ'$;gLN
sin(π+α)= -sinα *CT-=JQ
g+ 4 VC
cos(π+α)= -cosα p!OCJ=x b
]15^\>b5t
tan(π+α)= tanα 4fK]YE;nB
yJ9}_j&|
cot(π+α)= cotα KmtxDRr'
AD@.:ds}h
公式三: 2Nw*c:L
WZMk6j*
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: }*c3|U%x
~6utx)yg\
sin(-α)= -sinα JK_ xHop
nis|ezI"|
cos(-α)= cosα 9]64vP<%6
&?\)095
tan(-α)= -tanα xn.j' (7.
qQ0uU+
cot(-α)= -cotα *Be~
Z^4$a9,m
公式四: A x;e#g
Jc[%_7
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: rBMfIW
I|3
/%
sin(π-α)= sinα iS;
l`7~
y(4I]3al
cos(π-α)= -cosα D
)k
.fC
wU:q;J
tan(π-α)= -tanα +-AT'm)Z
u%OYb}9
cot(π-α)= -cotα *QGJ^
!W P`!>
公式五: r22y\2I/&j
D3FfGJK`
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: GO53at{
.7vz51H%
sin(2π-α)= -sinα p ,){_
A*8&M,iE
cos(2π-α)= cosα <1v%
\X7k/
4s
T!R)6
tan(2π-α)= -tanα Ji 7mmgv
Fgk$3(Mo1
cot(2π-α)= -cotα NgU
6
Zy=A& '
公式六: Au10C/_
eD.2iw
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: 7|AG0|-R
$
>WX;.RW
sin(π/2+α)= cosα qd,8ja/
C0P.EuN?*5
cos(π/2+α)= -sinα RLpa K8$X
C!+{_&[wex
tan(π/2+α)= -cotα L:bXq$#
[}j 'Rr2
cot(π/2+α)= -tanα lxWBqbk)
"cFCYkRzx
sin(π/2-α)= cosα nD]-p$Z
t~Kk'bq?\
cos(π/2-α)= sinα x:EM/40@o
gl0}N>g
tan(π/2-α)= cotα 5`f_'A<2b
8*ymi<'g?,
cot(π/2-α)= tanα 4)_|Wf+
.9AAH08z
sin(3π/2+α)= -cosα ,\)g:NI,
T|QM3
cos(3π/2+α)= sinα 8c;P:&]I
EQ%^aXv?|
tan(3π/2+α)= -cotα a)Y&jK~X
Y)ra16lG
cot(3π/2+α)= -tanα XNXfh
[WMz$p7*9
sin(3π/2-α)= -cosα FD4YW
#__<H1T7B
cos(3π/2-α)= -sinα Y{/31#Ue
6v//FOl<
tan(3π/2-α)= cotα (uy'}Ku
gU5N p|e9
cot(3π/2-α)= tanα SIO,8m\
NnTt+1U
(以上k∈Z) BN}IHWi
i.XmK5
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ~m_S(:T{[
f1Wr32y
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = G$[/zX=
^
]:noDkj
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } f/Mx=E=G
l$NF0jNB
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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