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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 !7X0@F:Y  
EE W}hrK  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 4; 9}D'  
~Zkq(cu  
　　1、三角函数本质： OW %hRhL  
Y2(iC  
　　三角函数的本质来源于定义 2 p~xk)2S  
m bmavKa  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 9qoAOJT1.  
wW} un  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ;{`gk#!L  
vW:%2ITm  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： -oVco7ZJ  
MdCfQ*U  
　　推导： <2+ `.8  
`6Q(N M  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 \~ffq?  
SM5's  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) &f2Mqe/ =  
h{E; )E~`v  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) cp(%w5" u  
5(Ll@u#  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 i4! ]I@xq  
M[dzP Q,  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） (xZe>^{  
w{6yYCS ~2  
　　[1] ^Id *CWN  
UM_<^%x<  
　　两角和公式 A|{ajGE9  
&&a.b0(-1  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 1QiNE_#  
'>}7MDC  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Usf\zSm|"  
K%{v !61  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB *FIyT{&un  
)&Cs':(*{  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ~.Wn <^  
5X;3Ygab  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) k)q"C"=N:  
5)$DLF8S  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) }:;p3s[GMr  
q_@:B^3@  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  _C8Nw 3  
w*]<bYSY  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) v21Vk\K7  
eEwWT`.  
倍角公式 h4yi'TK  
osf|eo  
　　Sin2A=2SinA•CosA XY[[6P_  
t3IR\T/  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 E;YBL 3i  
^lSRtHYt=  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） _ _nJ+  
ULD@Yw -Z  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ]Ng8"<%  
GK,4Ks!%n  
三倍角公式 UIp:_Q1^  
7DAZv%Z  
　　 ()9Cumw  
YAMHo1R  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) a] @!\))  
9,aK8!nvj  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) vqCQjA  
t)A]/qcD+  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 9q$_kb  
XYZw[^D]  
三倍角公式推导 LAgk#pxF  
Q;k}nE)ek  
　　sin3a Ox Cr  
{Dr)ot  
　　=sin(2a+a) .s}0  
1]:|MgO  
　　=sin2acosa+cos2asina ()<ohL%  
;K 4\  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina S=, R`'  
rE@xxbB  
　　=3sina-4sin³a SS0a~aw  
S%c?z7  
　　cos3a je[#O/5  
{gD Md  
　　=cos(2a+a) 6oFgGxu .Z  
/hfpl  
　　=cos2acosa-sin2asina zzP\B  
Pt7PQ7xEY|  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa >WW:SOZ32~  
O /aBPkOR  
　　=4cos³a-3cosa j\u~pDf  
6N7w]a=k  
　　sin3a=3sina-4sin³a G?][.oK-K  
z\A>'  
　　=4sina(3/4-sin²a) Uo-e|\Kce  
MpD7G5\UO  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Jw;4$U!{  
hp7`fKR;  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) P$I, 7n  
2\Yk\  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) p*#% g<n  
jI, . u]u  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] , g_qAa:  
?dLxyX  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Yg.H[jSp  
*uTMUNgk  
　　cos3a=4cos³a-3cosa pa-hHaS_\(  
E\T %_ 1  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 'gz/!K  
HFsji{ [l  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] QH&hKwHf  
2 ;l<=1NpJ  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) aSI_:q:|  
[e}, C  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Y;ma_<a)  
br>"5[ji  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} p I2Y:Y<  
KvgxlO]A  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) qN"c>1q*0M  
WS|tWCZJN  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] <E^nS-  
vX6PF }.!  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] X>+`7  
c.@.i Y  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ?Im'VRSx  
0Y|~,-W  
　　上述两式相比可得 N7Y b@c2 G  
<&b 2O$  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) R`;AkM8I  
_$+!/  
半角公式 EcLp[&  
Do"K8A  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Yhf%UP  
<67J!.ZN  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. GCCee  
*GW62XNs8  
和差化积 bwbDvxTiQY  
b'JK*~S r:  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 4r+@rV3P  
wEM5"[(  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] kmE;b&?Nd  
uwhw|@%c  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] DrlvO7&  
=9V}}u 8  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ] dV;"T;V"  
a%xe@aW4k  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) =hcvOD  
#O~aU @H"  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) \4 6 Uod  
F"N;O*t  
积化和差 f;&W7T]  
M"oWq  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 4o 9 }/'u  
J4raIIHZ  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] #S@`.8v  
XP[&Jh$SA-  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] BE: ;c  
G\|#[~/  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 2yamgL  
B]]n#   
诱导公式 >}w6l<u  
j>|NZ8pD  
　　sin(-α) = -sinα 2sT[`5  
`(n!l%  
　　cos(-α) = cosα I})5  
nC|_-  
　　sin(π/2-α) = cosα  x?SMx  
w%gT?Td_  
　　cos(π/2-α) = sinα C1\c0l4  
lPr&w](-|E  
　　sin(π/2+α) = cosα 8rT 7(=|@  
jH? hy6g/2  
　　cos(π/2+α) = -sinα d>}U qz}  
{C#H~  
　　sin(π-α) = sinα kQ678S_g  
:9 1GDHy  
　　cos(π-α) = -cosα }26H'Zs  
F8Sfp2C90  
　　sin(π+α) = -sinα +>[b3  
q4:()yE d9  
　　cos(π+α) = -cosα q7# (C  
Mn0v"0s  
　　tanA= sinA/cosA @M]BDV  
woR@2}R  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα rZ~{-Hp  
$jM'.>45x  
　　tan（π/2－α）＝cotα R]rL_T~ 2  
)R_yyr}npC  
　　tan（π－α）＝－tanα h<j^=  
6K.wTJ|H)9  
　　tan（π＋α）＝tanα F Sux75A  
&bmE;1  
万能公式 s saKgn:&P  
 Q:"w`H  
　　 3<"zx+!F  
|RA}Z}0Z  
其它公式 fI-@  
Ip5 NtoZ  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ) (hc(%P   
2x-,uF/  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 O`#1qj+"  
G Jde9?]Z*  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 %RNpi{bi  
o>/:Ej)&  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Vmp?L |ttE  
ZeKq%6j+  
　　对于任意非直角三角形,总有 X;go4WZy*=  
O>g+t N6f\  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC #:+ Ux1\M  
feulxf1  
　　证: 6QCF]z_K  
2AF1 nE1  
　　A+B=π-C M]nE)#]WF\  
3jxHC/t  
　　tan(A+B)=tan(π-C) {Zz:|yp j  
5v $d9&1#  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) .\l('"w>#  
^[jY1u'  
　　整理可得 h6~5"5\Q'$  
2z%Dx|Xc/  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC pZY9Ceh@  
5Sn4s0L  
　　得证 ]L%+0L%Uhc  
o E*/gvH  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 7[)`wFUM  
Pt(\%U{*  
其他非重点三角函数 :@RJC#^Bt  
ovqB3_  
　　csc(a) = 1/sin(a) Dp'lh7?!  
TXgV8]#a#  
　　sec(a) = 1/cos(a) fh1Vaa;\z  
e:kS7Vdo  
　　 8OR[0nRuGw  
3mWs@c,9Q  
双曲函数 He?x7g/R  
/GGea  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 x[4$ Cp  
jc"Sp$r  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 6mBYAVQdu  
(w)RS:]  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) o&z'=a  
!$@hn%!,  
　　公式一： bj0{+kP?.  
|ei*IkR:}  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： $rkp SUl  
YHVhbO4m  
　　sin（2kπ＋α）= sinα EQFE^  
J*bW pq@  
　　cos（2kπ＋α）= cosα cBoBk 6;M  
yb9C:7  
　　tan（kπ＋α）= tanα MVd\j3@i@  
< Cs7g  
　　cot（kπ＋α）= cotα m?1Ywa$\  
;ST=gV  
　　公式二： P"rl l3  
-,tr$655p  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Q_sOdQ:x)  
#fP CvG=]  
　　sin（π＋α）= -sinα t `6rL3  
+Uk'e6.  
　　cos（π＋α）= -cosα E48m3*cr9  
Su?$ 2n1  
　　tan（π＋α）= tanα pRF!qaW  
gp^ SK}8  
　　cot（π＋α）= cotα E4 EUEU8m  
Y0R=x"o  
　　公式三： (@! =>AJ  
\l=Mp=s  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： mx8o$kO  
iVy).a  
　　sin（-α）= -sinα K%h)p$  
U>\-Ur1g2  
　　cos（-α）= cosα ,+$:o!v_  
u'5zwr4@  
　　tan（-α）= -tanα j@S/l[=P_"  
@gcApt~  
　　cot（-α）= -cotα {9~ zQ@RQ  
#@xiF_Z  
　　公式四： 1 Zkjqs,.  
Uvn$KK!GV  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： S"~h{UCu1  
S6Dqy^  
　　sin（π-α）= sinα \xlfQFpm  
1!$p j(\p  
　　cos（π-α）= -cosα 3rM Boo}!<  
yT[M/mD  
　　tan（π-α）= -tanα CqM ]?3Z\  
-T,&6<l  
　　cot（π-α）= -cotα E< ` C;8  
&W T|<  
　　公式五： oS~]%XU  
]L/w:  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： )w2i-mBMfb  
NJwW729Br  
　　sin（2π-α）= -sinα "4nr `  
:r5=jT?E5  
　　cos（2π-α）= cosα E^$>J0&  
5K]J w>o  
　　tan（2π-α）= -tanα jpDso  
xJ u/F5#  
　　cot（2π-α）= -cotα 2?*1qT-  
S d5a1I|Y  
　　公式六： d-m(7  
JaU*TF?  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： p\,  
%NrYaw  
　　sin（π/2+α）= cosα 4q6% K4u'&  
)~WfQU@  
　　cos（π/2+α）= -sinα >C1'3hm .F  
}\ kqjkJ  
　　tan（π/2+α）= -cotα |&]ltH 2&  
m9zw  
　　cot（π/2+α）= -tanα ge OqQ]  
Y\7GdY07(  
　　sin（π/2-α）= cosα v0OUn&mg  
Qb&(&fl#u  
　　cos（π/2-α）= sinα IMy\qo:$  
mu"sxHB@)b  
　　tan（π/2-α）= cotα 'J'vAY  
L~uf`t?|S  
　　cot（π/2-α）= tanα /N',u0qT  
>NT"C!  
　　sin（3π/2+α）= -cosα =Kn'@W;f  
w7/# &! K  
　　cos（3π/2+α）= sinα !>$O'jQS7  
NYw/ G;H}  
　　tan（3π/2+α）= -cotα R:&:~:1qA  
j |}Ls  
　　cot（3π/2+α）= -tanα dJtQ`:W  
\)iw,R_f3  
　　sin（3π/2-α）= -cosα L2Az4T?H  
:G&SIa{K:  
　　cos（3π/2-α）= -sinα <;X:bp"  
mA&g bd^  
　　tan（3π/2-α）= cotα + >/AnVc  
1dnp8n?  
　　cot（3π/2-α）= tanα %K+<O _N  
L.un~3d)  
　　(以上k∈Z) eFK'#dx P  
cECY4[J`  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ~  qQ  
PCYJQG  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = <6y4BT^f  
>oZF@7f'I=  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } +v"Rv>  
w4=$!  G  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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