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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 J]2exU   
&5A j"  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. *az5:k18}  
+`?VH n.(  
　　1、三角函数本质： ` *T"GA  
G7A@8G  
　　三角函数的本质来源于定义 h>q 7  
# eK^H9  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 l($hyV6g_4  
uQp.EXrR  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 $5dZM#e-H  
bsK~p Lf  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： `a5X4ewOV  
L+g7th6Ca  
　　推导： &\{Bj|v  
AZ7SH`Kj6  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 z,iOcu;?')  
# ur!u  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) @c*B Hq  
oF Rc;E@W  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Rr/R.r[D  
mVA}V  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 (Go9foK^?  
gdao\7@)  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） iCiP,!NA  
BoY*d2`  
　　[1] b>x};K  
$h"] Qa  
　　两角和公式 8 (h*0sG  
+%3~csTBr  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB WG+x  
|II*U? Mo  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Na{0(&?F]  
NY$Qm9%N  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB @1m0C{pG  
]fRI6l!:  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 9&xEZ%&^  
 @"Ab_F  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) xY5Ho*KD@  
S5Z~` o3{C  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 6&Fb^0*.  
/:k VJqIT  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  --W&9RRS  
^Pu8g>l/  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) P`@,zK=  
T*w+S:]  
倍角公式 D jg%+ge  
Du8bd9DVP  
　　Sin2A=2SinA•CosA .=\2{,H  
5:Ap\9L  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 %OoUJ/|  
Mhc09j  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 8HqeZMLn  
k't:O-?Yj  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） -tgl c  
mD}<L4]9<  
三倍角公式 f2UbPDQ*   
,?OuykDG  
　　 lB@zZ0BU  
():1Q(  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) w%l^;^l  
VXKc]wqT)  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) #@PiX\uvcj  
2IHe74c  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) q3wbZg1n  
(dZ7xP,/  
三倍角公式推导 in_FkH"  
x^7'dO7  
　　sin3a J@18KJ"}  
eP {%tX1  
　　=sin(2a+a)  ,8K, {p  
\$<uoeU  
　　=sin2acosa+cos2asina M3Xc j G  
lG7}!`~  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina {N+C zwo  
uuCFBj  
　　=3sina-4sin³a G;:t:[ES  
jU!<t|m^W  
　　cos3a 7l.KCYC  
LnHYp -`  
　　=cos(2a+a) %05Z[9'T  
zES"TJk@  
　　=cos2acosa-sin2asina 4DpdPEZBlx  
;\JAc9Y   
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa gDESj>*t  
N9bRu E  
　　=4cos³a-3cosa VlW/&  
(cTU31>@  
　　sin3a=3sina-4sin³a wb>EoCf  
TKar:@; (  
　　=4sina(3/4-sin²a) d7f-` xx  
F3M p T  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] SK_ubU  
;oMtlT2<"B  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) m&{;t ~F  
T&T   
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) iS$q@s*"  
[6vCAkW   
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] @ W ~(rc,  
7t-]&  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 1Kg(fiwN=  
~i#fz, 5;  
　　cos3a=4cos³a-3cosa l>`HZe|  
c~.QC;p%  
　　=4cosa(cos²a-3/4) qZJ$,Xj  
bQ74XX  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] A;3f#kjx  
' { 6z  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ,Rh.J7L  
'T|yUz"  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) .vMD|lQ  
Klv4:ft  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} >k;Z3]W@  
ckThkI3xL  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) }V,3vecF  
*yAMT<Sj  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] C{iFFn>  
m!)XJ`bz\  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] )4s>U?  
s5 ;N|?  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) KPxgHM  
V5DSH  
　　上述两式相比可得 a ].<Swa!M  
@/-- P(2}  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) z4/7+ T  
CO3K2x!rW  
半角公式 Q rS"n@m#  
[7VaZ  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Tu=op  
t_bZ\d]De  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 0MVuREq  
>a'VrXcu  
和差化积 #(ATJ`\  
m/P$Kv*g/  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] {Lfjit:  
6aoq2>tJi  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] T Sk,@m  
3If*I=1  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] G2dv3bTnF2  
]-RMK3  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] kvr"evm~m_  
)!4%g{T  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 9eJ@M-/H^  
TV7cs  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 3RkGF aB  
5 %k 59  
积化和差 ik7Ol-qc[  
0+/!~ye  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] r2W!.>+)  
Ow|COG  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] qsd=['D  
tbD&W<>H$  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] c$26FRjCF  
k~j2v}E1h  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] zlBo:4}  
{>fJ`91*>  
诱导公式 ^kog/PZQ  
$0#Ovs.  
　　sin(-α) = -sinα a@6rt>  
R=R2=b6}  
　　cos(-α) = cosα /-Y'#3=oD  
 wKa\Mya  
　　sin(π/2-α) = cosα J:b _!u_l  
o ~Yk}eG  
　　cos(π/2-α) = sinα cQA@q3s;v  
xY-St]s  
　　sin(π/2+α) = cosα FV'3c6+B/  
_kv~h  
　　cos(π/2+α) = -sinα ;1\7wL/4  
-o2XHpo  
　　sin(π-α) = sinα i>gsJ;v~  
|TC% cH=  
　　cos(π-α) = -cosα u& 2"Pu   
uPN!Z'C  
　　sin(π+α) = -sinα !+#4l@u!  
>4:Rt5  
　　cos(π+α) = -cosα %+{?Z]  
S:WsvC\6{  
　　tanA= sinA/cosA X-*3|s7dwB  
d:T ^+e  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα nS4=yj(`  
{vMXa `  
　　tan（π/2－α）＝cotα zbu>AuE6  
lT;2;sa ]  
　　tan（π－α）＝－tanα ?jo1R,ng  
*;6U& s   
　　tan（π＋α）＝tanα mJWe1_)qb  
\B;hW^(  
万能公式 C Of   
&V$7Wf}"=  
　　 ]Qhr=   
Tg$4% Chm  
其它公式 x&~Q?f  
wq-X=;2I-  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 at?e:EZf$B  
_6{87|3  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 e" j=^}  
"HmtS- IJ  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 k1*'lLuI5  
4%o:5\c`{  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ~2E"zC \\W  
?>(S h  
　　对于任意非直角三角形,总有 ; 5BE l*  
i`G.]<W  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ||bCY^'BM  
%oz|5fX-7  
　　证: >hRa"c.M  
Fs"dVnh2{?  
　　A+B=π-C '9R!*uIb  
msZUi-Jl  
　　tan(A+B)=tan(π-C) N 0^px\u  
8>4;7<  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) DewVB@a  
M#V~p_]  
　　整理可得 _yy/,tF@  
8*- gSK  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC aL1$e6N  
  Y;m U  
　　得证 K A1M> [  
1XP?]&C K  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 #'>X'd%  
B#QzfkEet  
其他非重点三角函数 mSg. ]a!1~  
xx Sc>ku9  
　　csc(a) = 1/sin(a) }e.5\ Q  
Hl Y9>CX  
　　sec(a) = 1/cos(a) QLk/ROV/=  
$mg=65my  
　　 KI{ XZx[  
CYl-$t+2  
双曲函数 WM*O&mc@  
ujfcZN(i^_  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 2 XF6Ot.m  
$X9*!dX  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 '2JXoIe  
ucvi5o<fg  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Vt3yES&  
PKJ8G# t  
　　公式一：  \\'lqMsR  
<-![EP  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： k%>"/T~  
P<yI~nP  
　　sin（2kπ＋α）= sinα _/$~\Df3  
k2xZ19Hw  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ?DI>4v8p  
cHE*[%F d  
　　tan（kπ＋α）= tanα L:08og?nj  
X,y?w;G  
　　cot（kπ＋α）= cotα 8Yr6DqAr"<  
Ny R_fiJ6N  
　　公式二： U_hd\L^  
"<{}j=^3  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： _Cf5FW`  
yJ'$;gLN  
　　sin（π＋α）= -sinα  *CT-=JQ  
g+  4 VC  
　　cos（π＋α）= -cosα p!OCJ=x b  
]15^\>b5t  
　　tan（π＋α）= tanα 4fK]YE;nB  
yJ9}_j&|  
　　cot（π＋α）= cotα KmtxDRr'  
AD@.:ds}h  
　　公式三： 2Nw*c:L  
WZMk6j*  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： }*c3|U%x  
~6utx)yg\  
　　sin（-α）= -sinα JK_ xHop  
nis|ezI"|  
　　cos（-α）= cosα 9]64vP<%6  
&?\)095  
　　tan（-α）= -tanα xn.j' (7.  
qQ0 uU+  
　　cot（-α）= -cotα *Be ~  
Z^4$a9,m  
　　公式四： A x;e#g  
Jc[% _7  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： rBMfIW  
I|3 /%  
　　sin（π-α）= sinα iS; l`7~  
y(4I]3al  
　　cos（π-α）= -cosα D ) k .fC  
wU:q;J  
　　tan（π-α）= -tanα +-AT'm)Z  
u %OYb}9  
　　cot（π-α）= -cotα *QGJ^  
!W P`!>  
　　公式五： r22y\2I/&j  
D3FfGJK`  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： GO53at{  
.7vz51H%  
　　sin（2π-α）= -sinα p,){_  
A*8&M,iE  
　　cos（2π-α）= cosα <1v% \X7k/  
4s T!R)6  
　　tan（2π-α）= -tanα Ji 7mmgv  
Fgk$3(Mo1  
　　cot（2π-α）= -cotα  NgU 6  
Zy=A& '  
　　公式六： Au10C/_  
eD.2iw  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 7|AG0|-R  
$ >WX;.RW  
　　sin（π/2+α）= cosα qd,8ja/  
C0P.EuN?*5  
　　cos（π/2+α）= -sinα RLpa K8$X  
C!+{_&[wex  
　　tan（π/2+α）= -cotα L:bXq$#  
[}j'Rr2  
　　cot（π/2+α）= -tanα lxWBqbk)  
"cFCYkRzx  
　　sin（π/2-α）= cosα nD]-p$Z  
t~Kk'bq?\  
　　cos（π/2-α）= sinα x:EM/40@o  
gl0}N>g  
　　tan（π/2-α）= cotα 5`f_'A<2b  
8*ymi<'g?,  
　　cot（π/2-α）= tanα 4 )_|Wf+  
.9AAH08z  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ,\)g: NI,  
T|QM3  
　　cos（3π/2+α）= sinα 8c;P:&]I  
EQ%^aXv?|  
　　tan（3π/2+α）= -cotα a)Y&jK~X  
Y )ra16lG  
　　cot（3π/2+α）= -tanα X NXfh  
[WMz$p7*9  
　　sin（3π/2-α）= -cosα FD4YW  
#__<H1T7B  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Y{/31#Ue  
6v//FOl<  
　　tan（3π/2-α）= cotα (uy'}Ku  
gU5N p|e9  
　　cot（3π/2-α）= tanα SIO,8m\  
NnTt+1U  
　　(以上k∈Z) BN}IHWi  
i.XmK5  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ~m_S(:T{[  
f1 Wr32y  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = G$[/zX= ^  
]:noDkj  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } f/Mx=E =G  
l$NF0jNB  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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