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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ]kf Ty@'  
_`1|x$?  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 6Q&>eg4  
VZl:e~1  
　　1、三角函数本质： tV)'ah"  
lu z2+  
　　三角函数的本质来源于定义 ovzuxC  
_*}aCUA/  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 #gN Zty  
ec d {R  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 8MIfYw7"  
}'i.\{eg  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： I:+S&pv.'  
E|Y$K7j  
　　推导： S| p^t~-o  
iilpq 49  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Iz X|o  
j6Ls9X`  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) bbdNyCp  
<7wT|A `>  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) v= 3Xg  
4)2<&L|  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 s*< )!  
aS5[gj<!Mr  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 5Lp3  
LBjc"D~z  
　　[1] Y[>lW\  
|z,;z  
　　两角和公式 ]1=< ZR  
">j!C'  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB j zboq  
|H,OTt,w  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  1w*[  
"@^teV[}a  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB G>8|8e<p  
u3%R D% F  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB A;>!+}_7v  
wLc2rO{  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) HNwh_IQ  
LZFkw2`M^  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) F pbRbsm  
dif2o{U2UT  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  =|(9SR k  
Q<9 ws  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) d%ar0*"M  
?$X 1vd:  
倍角公式 2W#3kW'mS  
bE?qx"{fG9  
　　Sin2A=2SinA•CosA $eQ*KNL4  
k&0Pv[:  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Qx`:bj t  
;mj%u&N]6  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） w5K\8i#\  
vf:?NONY:  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） yFp]Jc  
5\`H?1YeZ  
三倍角公式 % ^SMx6  
C q h fN<  
　　 ]xzz02!U.  
`D N92{od  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) J`tj+*A!JT  
be!iWm 4m  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) g5]0 u!! S  
6MRLqMWN  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)  Aj2C'  
Y/MW'{ ye  
三倍角公式推导 bJ4*_R|4  
c"I`6d!  
　　sin3a g%owaK+ W  
!\S a~k",  
　　=sin(2a+a) uXjt"Z,>~%  
`*J. w;P  
　　=sin2acosa+cos2asina J`yZ8@V  
/,F-l a O  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina BAr)e:$F  
3u:]N;#5  
　　=3sina-4sin³a $6 aD> O  
)fTx7  
　　cos3a 9^ 73Vc@  
WqecgD~  
　　=cos(2a+a) B_qT-au#  
3CS7OwDMq  
　　=cos2acosa-sin2asina ++:5N_w  
2 *$r0|l  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 17v!L~-zX  
!y$FN`GZy  
　　=4cos³a-3cosa \Q]v5[O  
p%8O49I  
　　sin3a=3sina-4sin³a HJ$AaLOgG  
d&A.$Xu,e  
　　=4sina(3/4-sin²a) >XtduW\8@  
P{3t!U1  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] go&`7&  
!.@$J|&  
　　=4sina(sin²60°-sin²a)  513  
$^V~qb8h=  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) rn<G^5/  
ixQW>on  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] pj [IJ^  
W0u2`VXrkD  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) *Ddw>W$O  
fF+&A(  
　　cos3a=4cos³a-3cosa cBHgs hi>n  
kOj M|aF9f  
　　=4cosa(cos²a-3/4) wP:F| 2d  
Fy>C;G  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] fpFYY ~*  
M:{nZa}u!D  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ^4(WQ92?  
AX1GmuasMk  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) FE0\O(B_  
T#s?BM8y  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} (ve%.Mw^T  
1N{)F]dt4  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ]n"~uy9;  
xB[PM7^21  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] {,U$-`H  
ej[jE Qm,  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]  uaY`m{[  
I;3=v@ b:1  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) s^J%MSJO  
7[[ )@F  
　　上述两式相比可得 C<E*HimY  
~<mIs<QiO  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) i8u~GE  
pYl\2Dl  
半角公式 s\<i>,:  
UR_.[cy6  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); lsWUKn]  
bDXjM(54c  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. cc?8=t[)w  
}3/0sM]+r  
和差化积 WX2mY;uSh  
nB) n=v  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] J>As<~%  
{!o sf2ag  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] En0q9TB{  
3aUyJaM3"  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] TTomgc3  
"- ,M0aP  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] p? Q?L*z#K  
. G,vit  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) KI(hs  
4l E%{j5  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 8R8_ Z6   
~'hX+"  
积化和差  I7%"X^f  
Yv.w3/ ok  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] QVfq;  
bjnSe0Bz(  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] zdAhNVBo_  
'5?\a!  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ~  >RpK  
DB "l XcR  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] vX" "R_  
\m{K`"y  
诱导公式 E cH]$lxc^  
,RD qP  
　　sin(-α) = -sinα \R)lQx^  
Heb1tGcBQ  
　　cos(-α) = cosα }5| kEx  
}BAC g0  
　　sin(π/2-α) = cosα J5CUR *P  
(,w,|{Yy @  
　　cos(π/2-α) = sinα F%Fr7])4  
E9/L71)I  
　　sin(π/2+α) = cosα iOG5{hgs  
/N:#$  
　　cos(π/2+α) = -sinα 6VO-yp'd  
MVi>6^Zr  
　　sin(π-α) = sinα WOJ6w9 B  
XRZC0 QL{  
　　cos(π-α) = -cosα ;j;F7!hkV  
-gf~kj+  
　　sin(π+α) = -sinα W1eA>y)  
an5&Z   
　　cos(π+α) = -cosα _-M $bd8  
{}w|]D=.  
　　tanA= sinA/cosA 3L%Zy&WBHW  
F [%:g  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα x7h6O ')  
I'[E ,`5`  
　　tan（π/2－α）＝cotα @m*w#b t  
jw2: 9\  
　　tan（π－α）＝－tanα 59g>_a66  
 _fLW'xh  
　　tan（π＋α）＝tanα @LU]+ C%T%  
<("be|.8  
万能公式 6:^emb"rm4  
th2i;.}  
　　 6W kPbr  
>Q wYL nb6  
其它公式 5uhs~+x+6  
QA<;JD}DEt  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 0CbY 3 o  
9S.& j Rs  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 0zBp0[0  
+#O,L>j  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 QaqVw4Z  
nq.Kn!:;  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 D/mq2(:YD  
wZFA[-.D D  
　　对于任意非直角三角形,总有 w*NNld2[(  
oZ+IL\R*j  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Y ejr9D9z  
'vZt<F{>  
　　证: 4L1+LMI%  
[6JbZ|jV_  
　　A+B=π-C +T9J=tk;E  
PpC{R~ a6  
　　tan(A+B)=tan(π-C) =k $@}o  
X }+H_!  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 7j>T'o@  
1$&} ^  
　　整理可得 k=" wuW{y\  
`z9tu9g;  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC }jTs`$!  
Sz`6P CT  
　　得证 E[p+G8l  
%<(9p/9  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 %7&+ L aY  
xu0;<kfc  
其他非重点三角函数 ]wZ]PIj|*  
C@`dQ~Wk  
　　csc(a) = 1/sin(a) moQ.1v2k  
S /9_ANa#P  
　　sec(a) = 1/cos(a) yif @qo6  
d;=>h(4W  
　　 -96MF?teL  
[Re ""g5  
双曲函数 4nIqL&0Ce  
TQ\ zE  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 /[tzjs9/d  
!Bi@ +9BDW  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 PHX;W5we  
\My.$ o|h  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) H1(qe`  
w "=`:ngT  
　　公式一： 5yP,i$:9W  
)iv8Fm_<  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： fI[X{V3_  
5w]HH3;>  
　　sin（2kπ＋α）= sinα lU; OzJgC  
s.wf&  
　　cos（2kπ＋α）= cosα <Nh"iC3  
2 :u0;  
　　tan（kπ＋α）= tanα 8,w2@ g&  
zJm)\ p{  
　　cot（kπ＋α）= cotα &eWX<we  
zy5!f~#U2  
　　公式二： `!:d_tWf  
zfPb[P(`/  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： iVzZ+.)n  
vPoC3}g{z  
　　sin（π＋α）= -sinα n%]Z>N  
1bxFS  
　　cos（π＋α）= -cosα _<HXHZa/  
d!mVW!E=w  
　　tan（π＋α）= tanα BX ;jFvj  
c:]uU9a  
　　cot（π＋α）= cotα hJf=HbVi  
abK0&=   
　　公式三： % pS:vKwI9  
<6ijR& ~  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： oq &n7Al  
G `i`>  
　　sin（-α）= -sinα 7vwlJa4bU  
_ED[ttWX  
　　cos（-α）= cosα =7 mH Z%b  
h$/#*'T>  
　　tan（-α）= -tanα &OCS^HjPp  
wJ86P :D  
　　cot（-α）= -cotα |%,^"$Sz  
#U&y-9d/S  
　　公式四： )`UjE'yG  
#85WY!@  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ;A!>2~_U  
FI'P#DZW  
　　sin（π-α）= sinα }TN70b  
)^N?$)V9  
　　cos（π-α）= -cosα QD$'  
7_t[ 7%E|  
　　tan（π-α）= -tanα I]8$=DQ9x  
=)9EuI  
　　cot（π-α）= -cotα NE@@:qs   
?IWaX`*Bu  
　　公式五： gvxHY2Y/n  
o,}Oa ,  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： [+M9Nx"nsQ  
k~9 ng[  
　　sin（2π-α）= -sinα ~\0jb/E  
z9S9Y>f^-F  
　　cos（2π-α）= cosα _Fa/ ?4uF  
{9lX34  
　　tan（2π-α）= -tanα qT [L702i  
U|FC9ZKa  
　　cot（2π-α）= -cotα sbT`SxZ V  
l2vQw  
　　公式六： 3bI%4^l]  
h0zj$]  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： O^B}Y"G  
yT.6$  
　　sin（π/2+α）= cosα F&T57D  
xhcp=rTy6  
　　cos（π/2+α）= -sinα t:W^%(5  
.QAlGRTq  
　　tan（π/2+α）= -cotα |, xW:_Y  
$Q?-V$Df  
　　cot（π/2+α）= -tanα DN%c%Z|  
US^Pxp?P  
　　sin（π/2-α）= cosα ;/|vn}\j  
9se;Q}&[-  
　　cos（π/2-α）= sinα DE\_*(hdC  
G1`$piHZ  
　　tan（π/2-α）= cotα Lok?da )~  
^| -,U!  
　　cot（π/2-α）= tanα PS[fP#p]  
9$]bQ =!9  
　　sin（3π/2+α）= -cosα -]`~!KQ  
=G!N_+o%U  
　　cos（3π/2+α）= sinα 8ZnX"yd ^  
jV/_;N7[4  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 4e4q5.3;  
g];*TPqr  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ,SNM  
b)ACg p  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ;mF <xIE  
Mf7qPwQ[a  
　　cos（3π/2-α）= -sinα %=zme%$W[  
-@y{XH  
　　tan（3π/2-α）= cotα yhE5A@L  
/<` $h:j  
　　cot（3π/2-α）= tanα _51qH2P~  
"<2)+  
　　(以上k∈Z) JwX   
;k6h  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 LF6| ^l  
( ^$`JXBi@  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ~5_<;:;<M$  
g['j)cm)  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } "5E'mHlO  
f)Dw. A*  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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