永福╉留痕

三角函数内容规律 >xc%+::dl  
kt^S\2  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. %6p6B%XY*  
aJlEI a  
　　1、三角函数本质： ByJkCNxa  
@O)FDB
v
 
　　三角函数的本质来源于定义 S;]|'@?I}  
Jb2bI^f  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 vd6V5sMk  
~4 l/rXM\?  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 j 
IsB+  

f6*TH;L4  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： wgiHd[0z  
mO y6j&L7  
　　推导：
u
T<.RA  
J8RNv3d-  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 jK mw8\K  
\D;<uMLc  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) +|~Gof&F  
ExWzCHa  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Qq.wGoWB  
*Dk-c<qW+  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 p4|9ltsW  
E=; <Mpt  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ?d/6z  
Y) ["@w  
　　[1] 5Y/OrlG^c  
g;8 ro  
　　两角和公式 >4!66f_)  
.6.i w  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ~U5]9QvN  
=274]PVe  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  IC3= #[>  
t!n^e.=3d  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB !yG<sCkfRm  
mzhQv5-{;i  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB {S)w  
|J$g3Tzf  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) /5^mG  
N_%r7^uQ  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) W{}-GGb  
zgP.<0A}  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Nt2M|87V  
`T*D}O3+  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) zJ <W'`-  
`TnmTgM  
倍角公式 yvUg_Os  
B#Sio(k  
　　Sin2A=2SinA•CosA 2ZZYxOSb  
yeiqVlub  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 '-X)(  
gZQ= ka!}  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） '/|I:P]eh  
Mnl@BJ  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 0F CR?U9a  
BSp\F1mK/  
三倍角公式 0FdVW  
w]nL6$@g6  
　　  0oP  
N~j]3
*\  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) P1 SEx2,  
aSE_Lf  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) w@>=(aUZ(}  
Y;8Tb?|B?  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) b&mk0Xuj  
+v S6&K  
三倍角公式推导 }ke
lPJ'lx  
J~f5PNM  
　　sin3a x8y2WtT}  
bi?A~1  
　　=sin(2a+a) Il_1
(`Gw  
/Z4jYP4Z#  
　　=sin2acosa+cos2asina Ie7Oy}d@"s  
Y-s$4I+  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina @N;`
wM  
dFFwuyx  
　　=3sina-4sin³a =K[fj>g"  
=./5p #u2  
　　cos3a '
^(~e`QS  
$KIK o8ARr  
　　=cos(2a+a) fPy{4 O_  
4MG}Wg  
　　=cos2acosa-sin2asina GUI)sc1d  
Yg0FD{W'  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ,%?;h8uVC  
.lLZN+!  
　　=4cos³a-3cosa $Z"vH?'  
sDoWwJ&  
　　sin3a=3sina-4sin³a ke8ojL  
u# kZM  
　　=4sina(3/4-sin²a) ;OSvC,IG  
.@'.d<btC%  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] AO 9t~ j-  
9>@czt3  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) f{nR/UA u  
U=]NoG  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) y\ev.g|0C  
Ooc g4  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] #,oD!SF|  
"Un7>?B8L  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) \|I4K&x  
J^VO {  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Qe,Due}  
!!~`$"^r  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 72emrgt.T  
|zK.QS*#V  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] JlF$,im  
{4ofi'[:#  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) DU>/f9q]  
'I^L/NN?  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 5%R
W%  
/#aT\^<(-7  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} <dD`!syX  

`rj0S  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) &:3Q$Pp%N  
N%k_xd&!A  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ]1.Shr(2$  
jz
PEQ  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] hg
C(N0  
,as7ybP  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) O M$m  
673et
!|E  
　　上述两式相比可得
{TN  
XD@;tnh>  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) PW?s^I.K,  
) s
.dMG  
半角公式 ~ $BN}&-V  
j79]c2@Z  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 5gob=D3^  
?XU9R+Sj  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. N~5zy=.}%  
Su*s O-  
和差化积 o2,m @t  
hGNk_D  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]  j]~0^H@  
DeKccg49  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] IBn@~Z64  
yT_f|2  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] +-L):ZP  
4Ghxpn=  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ErJ}k4|W  
Y  :,*B  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) "pY
KU[W8  
SJ!VlPDY7  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) &Y;9j4pw  
Uq4AB_zk  
积化和差 <DuGxGa  
m#{PRi~6V  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] h\} dB.n  
$LS_P  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] xv r`vm  
I !Vs*d  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 7>S8#  
'8I*PVT  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]
J=|$,o6W  
aHTy(^^%  
诱导公式 *\Fy V  
'>x UKkp  
　　sin(-α) = -sinα gCDqg4  
:1z2D1YK6  
　　cos(-α) = cosα '8~q*{q?il  
8]PYG.,\  
　　sin(π/2-α) = cosα bUy\r  
+A838SQ  
　　cos(π/2-α) = sinα ]4e<H^,\  
jo'~zh[4  
　　sin(π/2+α) = cosα 2?'A? 2{  
]v6/TPaL  
　　cos(π/2+α) = -sinα -1 T][Uu~  
FvwC`+9\  
　　sin(π-α) = sinα Ov:[#  
p|'jtpl  
　　cos(π-α) = -cosα RM ^.{pU/N  
cA8af&  
　　sin(π+α) = -sinα <x^nSt{'L  
T}bYG_xmm  
　　cos(π+α) = -cosα FF f|NCf  
T%~~
+he  
　　tanA= sinA/cosA Onul(QWn  
,>JR 8Ro  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα $>0'38 $  
w\'MRu8&^  
　　tan（π/2－α）＝cotα [H,ib6FR  
r]uvupH  
　　tan（π－α）＝－tanα o;y5 pcqW  
aSm*{C^"O<  
　　tan（π＋α）＝tanα z1m%fjwJ  
0g$*/^)`  
万能公式 +C*ZwM  
ll 9 r:+M  
　　 7`8pJg)BB?  
.q"}DYIT  
其它公式 ZFj+k6s@  
w7~} vBcB  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 1 K_P_jz  
kY\`o&T'5=  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 .W'6]A8Ca  
LAH^i/4X0y  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 IT+!jO  
s[w 2BNCb  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 R>Fs''  
(I?<+.?\  
　　对于任意非直角三角形,总有 Notky;J  
gTnKPd  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC C:->&y  
MDvcemFd  
　　证: y}}7-|4%  
&pz1.K[A  
　　A+B=π-C v=23 8-Y  
ApfZOy(3  
　　tan(A+B)=tan(π-C) iX' /[S  
y-6f#,%0  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) j5n`6>p  
,bKP%BL#  
　　整理可得 < >~;Yn
?  
'u TY0?  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC WHA>E=  
O@5^{?s  
　　得证 Vz&1L47?  
'2(Z<w'T  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 @-zVV0>!  
c$Dh"Yk.  
其他非重点三角函数 Bt_]n  
<sb$f_j  
　　csc(a) = 1/sin(a) a?NMDeU  
EF2}phfv  
　　sec(a) = 1/cos(a) pSC/:q>e  
$y?x:Y)  
　　 B%T'' Y  
JLqoKu`  
双曲函数 v DcY  
x_7p:2jIA:  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 XDSk@4>#z  
"/gy2dcde  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 5"`!KhS0  
olkL&rQtfM  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) yKev`&`i  
wByzUu`  
　　公式一： RVL\I  
S?U^EE2  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： RVrO65jH`)  
@,F![r+P'  
　　sin（2kπ＋α）= sinα :^ ]~>C$@  
ZV5jujSQ  
　　cos（2kπ＋α）= cosα +6vh)pL;Q  
=Mzu.JXN  
　　tan（kπ＋α）= tanα *9Y0FfR)  
z(#< A  
　　cot（kπ＋α）= cotα | *n[wCaW  
-ZwtoP=7  
　　公式二： Bx ?E9P;  
7\g>VQ&  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： zRASMu6"6  
1WnsX.  
　　sin（π＋α）= -sinα "`Jpeowoq  
U7vAcQqj|D  
　　cos（π＋α）= -cosα 7X4
XcsK  
Gw@be 8%  
　　tan（π＋α）= tanα ?9,%}7/N.*  
=i7gMuJ  
　　cot（π＋α）= cotα ?0.u+G/%9  
B~&U+)v(  
　　公式三： Oo'4~  
4`z09  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： t$-sr@" z  
?d"Ox\m  
　　sin（-α）= -sinα N*p_eF4m  
O)&##]b  
　　cos（-α）= cosα Jk6zm/0  
0vhW0i,8  
　　tan（-α）= -tanα 64KDwBdp  
)FBPz,M4  
　　cot（-α）= -cotα %H&;J 0Q;7  
lJQt%Kdo(  
　　公式四： T+Ropn  
&Tbi)<tv<  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：  PXVu[d  
6TR7a\FYM  
　　sin（π-α）= sinα \),.<X[&4  
.'BH"v,  
　　cos（π-α）= -cosα 3$)"=\  
z9/?RUgK.  
　　tan（π-α）= -tanα GxS)K  
!1e:~E|  
　　cot（π-α）= -cotα dqtOq}0H  
E5R&  
　　公式五： RicNpIlbQT  
 jD{s  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： SCN"Q[} DR  
uk)J]ITO  
　　sin（2π-α）= -sinα L]j!v?~w  
x/2^ U9;T  
　　cos（2π-α）= cosα g_(W)\3F  
/'F)IE  
　　tan（2π-α）= -tanα #\ 17Y!Of  
O$W bvM  
　　cot（2π-α）= -cotα !2f(^`Wa  
MWM0jq[S  
　　公式六： :9Dk7KTQi  
yrk 6v  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： m:wzAwi  
b4.#\3Mw  
　　sin（π/2+α）= cosα "P|< ?aF[  
^[~GJ\z  
　　cos（π/2+α）= -sinα %z CnW>  
!Do=0b  
　　tan（π/2+α）= -cotα >z&F  
l|e4"ARcL  
　　cot（π/2+α）= -tanα "Yp)AGgX  
z9'Yf  
　　sin（π/2-α）= cosα BBq r|\  
i[hmxu`  
　　cos（π/2-α）= sinα "|0+iBb*  
si]'`Eb  
　　tan（π/2-α）= cotα l!%
< b}  
-c6
*dvh'  
　　cot（π/2-α）= tanα H5Uh\"=A  
5"4@35D'  
　　sin（3π/2+α）= -cosα fcRfy0krN  
!R*p|wO  
　　cos（3π/2+α）= sinα M*=-4+D  
B\..jfH  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 4TQ:{l  
)V Dx"[  
　　cot（3π/2+α）= -tanα PlEid b  
J8FC/-\r-  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 0l16R  
dYAw.c"c/  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 2V%eH'e
  
g)69 '  
　　tan（3π/2-α）= cotα 5cT~:-}  
*!c+F I  
　　cot（3π/2-α）= tanα [!eRN Ki  
BkOs  
　　(以上k∈Z) f#1'xng}  
! vbP&^7z  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Wh1=09  
 G S3  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = zP\*K  
4|-wY6Fo  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } !"hbe7fFF  
k~xV hL8  
　　√表示根号,包括{……}中的内容