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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 A)8]Q;c4  
_,I)%!  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. eyEWe{)w  
8W\HT^.  
　　1、三角函数本质： /$"ey;e  
\87r.G  
　　三角函数的本质来源于定义 Mc7X L5Ese  
Jha|_fP  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 w9\9*:Wv  
2l%+iaQ_q  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 6 x>o{Yv  
^"5,?P;7f.  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： VFB> "mq  
!Y#"[gE[0  
　　推导： ioM"b+}#o  
wJ55,0  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 K,Q)Kz.W  
uwZ$g7;b  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 2- QNb03w  
7!  #{  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) MyLfT_d2B%  
f,M]IUR6"  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 6T(AM:Od  
t *? 7  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Jb5<68WCY  
ioMp0%;?  
　　[1] PrL<v<u9  
'p$U,VV(wu  
　　两角和公式 5Te6Ohd 1o  
$I ;U'y'  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Y1%~c..+  
T|2I k2BP  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  /'9Ht7|0  
qw7NQ=&  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB -AGl ](g  
,I<:bWb0M  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB /zk kZ2I  
I* otU'A,W  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) %fIr sb  
HaXL =DZ  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)  r+{g%i  
10 d09[?  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  }SuJ$ZJ  
gw%* i6}3i  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) V<b_<zW '  
64m'AQaR  
倍角公式 83"ot T  
TCj<NbYY  
　　Sin2A=2SinA•CosA YK8F]  
5J o?~  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 }N yp}:H  
>>tM#"Jx  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） +kXCc*J  
pR20 1yn  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） }?/JdDUs  
6^'WBDP?  
三倍角公式 j{J3l%  
N 3%d:  
　　 CXqMn9@8  
^>6 u1?}\  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Qp_`'+X  
f]32x5   
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 9S 5{.1  
Df[~)  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) >ql!=$bIh  
cqy#fzdO  
三倍角公式推导 \ kC-4q.   
e-+ME#/  
　　sin3a p^ 6|" uR  
98;9Wu?  
　　=sin(2a+a) CgE+w}41  
kWOeI^DO  
　　=sin2acosa+cos2asina ||?FwC[+  
+kmAEH'l  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina p.pGcTk,  
R{)^a^|  
　　=3sina-4sin³a Si4A;  
@4A R6K1  
　　cos3a jQ 0+yb{ :  
%AOX B8W-  
　　=cos(2a+a) 6 MW'`uI0Z  
BH {vnc  
　　=cos2acosa-sin2asina :7YZsY?  
[ p{4T)  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa $NiU2qm  
n eMf)d+;  
　　=4cos³a-3cosa +lUG22V  
~-~C&Ft!t  
　　sin3a=3sina-4sin³a 9{`KzT  
hy!}  
　　=4sina(3/4-sin²a) spQ[;]!J/v  
o1!FT8sb  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] QY5#bL{  
,Sot9gl  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) [m7nmp:\T~  
YKIl&F%s  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) $K>_ [u  
#n3SxUz  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]  K!{r*=p  
1&5!>@wz  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) XLH7Z8O  
'2 4e:R  
　　cos3a=4cos³a-3cosa YD[Kg})aR  
W? k&EL  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Vrg>[v*l  
},$U:rZ-  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] d^}39{  
?I+2U  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) .7K '!T  
G&<"#rq$}  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) \nYcMn)  
,=A!/oT!  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} t &C"wp  
N-kE>qg  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) g{6Op_  
_P[2_#sh  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] )]7pn]|7  
z0#3Lp  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] _nr>~ +/6  
= LI/Y[[|  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) `AA-:jRS  
zv~pI?Ut  
　　上述两式相比可得 o)rAFT v  
-4 I(IzK  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) y,16!QaT|9  
_=RcTT`U2  
半角公式 ,#6&0<,lt  
qWG0xE  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); G . R!@:Y  
K>:-Ahh[Pn  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. <-+ZLhJ  
c2+| <G|{$  
和差化积 *,i)PkSx  
Mm;r~4Y&T  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] jw4p),Mw/  
G?~<XgM  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <(2g(e\x@  
/Qd;W-<  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1Pq?vx aWy  
aH?_O+`  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] g64b%  
S iQZ2eYY  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) qc;>LZhPk  
bvw^u  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) F;~m&I7o c  
SY!$&x"hW  
积化和差 iQ!m  
`iRj`PL  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ?PMe8Nl q  
c;Ch*0&  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] + Y piB@K  
:K\Sl1  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] \)o9Rd  
h+|yI(mCV  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Ba^'^`h  
*#e&w  
诱导公式 9"&fjT9/D  
K+Lf=WFN  
　　sin(-α) = -sinα VagNuej  
]CXIm+j  
　　cos(-α) = cosα  Uq^D~*M  
BG `AS  
　　sin(π/2-α) = cosα -2u C J';  
n 2q0nf%X.  
　　cos(π/2-α) = sinα sVa>qg+v  
 &p"'{G$  
　　sin(π/2+α) = cosα ^Sw68r g  
q?Joj-  
　　cos(π/2+α) = -sinα !bq$}z  
m^iv>1  
　　sin(π-α) = sinα dayCw%  
T[qdWj5^  
　　cos(π-α) = -cosα B L7OgE  
@^)4 $r  
　　sin(π+α) = -sinα hOqxz^  
C:A>g-oE  
　　cos(π+α) = -cosα bPbN^nAi  
Xf `y=3  
　　tanA= sinA/cosA W ha 1k6  
=ui +9}   
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ts L2qH  
jUjS3|D  
　　tan（π/2－α）＝cotα ZRA]?p  
zMdl htJ  
　　tan（π－α）＝－tanα Zh$-V^zv"3  
g,+e:: @ H  
　　tan（π＋α）＝tanα Koo!f[T  
)Xnr>  
万能公式 @uDt0 I  
\WfG}; 6{  
　　 (mbT4J  
k#p)'d]]  
其它公式 w[ygJ_Q  
bV4  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 446<Kx jvy  
+$=D5?@lM  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 m_x,hS{]ep  
f4({^$-+  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 )nuP[H  
QK `MA!8]  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 >?/m'88  
/!4<Od"m<  
　　对于任意非直角三角形,总有 y`qD*&t  
0e{b ;}"I  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC .qruL8)@  
;j. !hI[b  
　　证: /&tHSHN&kS  
!q '~D  
　　A+B=π-C 4AVFF+AD  
4KEb wBd  
　　tan(A+B)=tan(π-C) +\D[+ F7E  
- 'fX7  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) lMBp>T)  
n8iH 0\f(  
　　整理可得 Z)9y-A  
yhy@,b(b  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 5 4@Y'R?F  
s5go3X b1  
　　得证 M77)rjxr9  
  V83Y  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ^i:4'FuFhP  
o:DLK  
其他非重点三角函数 n<'- a1s  
#&9gkXw  
　　csc(a) = 1/sin(a) BG$[;]+]fL  
O)0D`KQ^!  
　　sec(a) = 1/cos(a) _n$?Q8iL  
N2Ml+y]bUf  
　　 4[TV"[e,  
NHm%\1P  
双曲函数 tOjID``H4E  
6l|<g(>  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 r@FrZ  
Vi Ak6  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 lH>SF~I6  
#* "s 7  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ?32)U K?  
0]W>)rk  
　　公式一： G1q :|  
->3 AVn* (  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： N!<L8*  
hm~R~_pzji  
　　sin（2kπ＋α）= sinα V/*i8j&  
97<7L' i)  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Sy-0~^  
HJB9~+  
　　tan（kπ＋α）= tanα %B0P S^  
~Fc3m1MaV  
　　cot（kπ＋α）= cotα U0!*1IQ  
YkaQgJPTp  
　　公式二： -C-fQIZxUR  
!?_Rk2I8  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： OH<0B7$q  
iu0D%xQ4~  
　　sin（π＋α）= -sinα ? %<]i.wq  
pjCUv;` '  
　　cos（π＋α）= -cosα (y[8/5p  
}0Bh W(&H  
　　tan（π＋α）= tanα N:se5I ig  
vek-i\C`?y  
　　cot（π＋α）= cotα 2zO"{Y<[  
D~_cv#rU  
　　公式三： uf>90Ppcb  
i&tIs.  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： x$?!$  
J~V3FOAN  
　　sin（-α）= -sinα zz*=o0d9  
r9WTs)S1  
　　cos（-α）= cosα Q> }n$1*  
DF`,6TT  
　　tan（-α）= -tanα Pcl NTqS  
 SvbVFtC  
　　cot（-α）= -cotα ljm|[)  
5 25y& V6  
　　公式四： ;r^no|X&L  
*;4ySZ g  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： !R")  
[oGX? 0  
　　sin（π-α）= sinα 3;g1E+o  
U09d.'f*/  
　　cos（π-α）= -cosα 9R-._FDx]  
A7*Y~t  
　　tan（π-α）= -tanα N;Yk=CAS?Z  
u %#-.YN%  
　　cot（π-α）= -cotα G D%SZDpG  
F_rx5MD  
　　公式五： gE!+YTt%kY  
=j) #fj   
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： FPGyv,"3  
LF-tsmeG4  
　　sin（2π-α）= -sinα *B|c yj:J  
/-f$-{zvE  
　　cos（2π-α）= cosα ?: dT6EJ\'  
YIM=) f  
　　tan（2π-α）= -tanα I@#R*-!9  
44[oyi_n  
　　cot（2π-α）= -cotα l/onHk^Y  
feX(z7  
　　公式六： w~HI?# T!  
[2h$?T]9w  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： knA%87~"  
E$)if0AC  
　　sin（π/2+α）= cosα g?iPaQ]  
~j&B\R`u|  
　　cos（π/2+α）= -sinα 5jE/PJ@  
&7WQ]X)+  
　　tan（π/2+α）= -cotα Y<>tA  
@cx]QR/8O  
　　cot（π/2+α）= -tanα ox1FxC  
 JK9[s=  
　　sin（π/2-α）= cosα R6AD+k0b2  
du`&2_[  
　　cos（π/2-α）= sinα .qU_.I>[F5  
,"Gk5Q<  
　　tan（π/2-α）= cotα ~L)R 7  
qkP!ne  
　　cot（π/2-α）= tanα #)KZi|FJ  
tA . =t  
　　sin（3π/2+α）= -cosα GS&FBj3dpy  
'et|6OX  
　　cos（3π/2+α）= sinα -4LVY Xc  
4YT:"fv J  
　　tan（3π/2+α）= -cotα  ~O^HA  
yO9{w/Y  
　　cot（3π/2+α）= -tanα G9RA7  
P[yObIE  
　　sin（3π/2-α）= -cosα w]%VMa5-M  
_LFq__  
　　cos（3π/2-α）= -sinα :m ~|f!_  
?,iN6- U  
　　tan（3π/2-α）= cotα s&v [twV  
8{Ox00  
　　cot（3π/2-α）= tanα y[n`I 2Bl  
%jI BD.Zt  
　　(以上k∈Z) |}^Tvv NP  
>DB}~po'  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 d>9 .)=  
e8(42RmS  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = k+>&5u}  
A8Y))@k1`  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } v<%'0FO6  
3ZGD,Ty  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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